Algebra lineare Esempi

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 0 & - 1 & a 3 & - a & 1 1 & - 2 & 3 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 0 & - 1 & a \\ 3 & - a & 1 \\ 1 & - 2 & 3 \end{array}]$

Passaggio 1

Choose the row or column with the most

0

$0$ elements. If there are no

0

$0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row

1

$1$ by its cofactor and add.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Consider the corresponding sign chart.

∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} + & - & + - & + & - + & - & + \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Passaggio 1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a

-

$-$ position on the sign chart.

Passaggio 1.3

The minor for

a_{11}

$a_{11}$ is the determinant with row

1

$1$ and column

1

$1$ deleted.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - a & 1 - 2 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} - a & 1 \\ - 2 & 3 \end{array} |$

Passaggio 1.4

Multiply element

a_{11}

$a_{11}$ by its cofactor.

0 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - a & 1 - 2 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$0 | \begin{array}{c} - a & 1 \\ - 2 & 3 \end{array} |$

Passaggio 1.5

The minor for

a_{12}

$a_{12}$ is the determinant with row

1

$1$ and column

2

$2$ deleted.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 1 1 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{array} |$

Passaggio 1.6

Multiply element

a_{12}

$a_{12}$ by its cofactor.

1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 1 1 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$1 | \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{array} |$

Passaggio 1.7

The minor for

a_{13}

$a_{13}$ is the determinant with row

1

$1$ and column

3

$3$ deleted.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & - a 1 & - 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 3 & - a \\ 1 & - 2 \end{array} |$

Passaggio 1.8

Multiply element

a_{13}

$a_{13}$ by its cofactor.

a ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & - a 1 & - 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$a | \begin{array}{c} 3 & - a \\ 1 & - 2 \end{array} |$

Passaggio 1.9

Add the terms together.

0 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - a & 1 - 2 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 1 1 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + a ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & - a 1 & - 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$0 | \begin{array}{c} - a & 1 \\ - 2 & 3 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{array} | + a | \begin{array}{c} 3 & - a \\ 1 & - 2 \end{array} |$

Passaggio 2

Moltiplica

$0$ per

$| \begin{array}{c} - a & 1 \\ - 2 & 3 \end{array} |$ .

$0 + 1 | \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{array} | + a | \begin{array}{c} 3 & - a \\ 1 & - 2 \end{array} |$

Passaggio 3

Calcola

$| \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{array} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

È possibile trovare il determinante di una matrice

$2 \times 2$ usando la formula

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$0 + 1 (3 \cdot 3 - 1 \cdot 1) + a | \begin{array}{c} 3 & - a \\ 1 & - 2 \end{array} |$

Passaggio 3.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Moltiplica

$3$ per

$3$ .

$0 + 1 (9 - 1 \cdot 1) + a | \begin{array}{c} 3 & - a \\ 1 & - 2 \end{array} |$

Passaggio 3.2.1.2

Moltiplica

$- 1$ per

$1$ .

$0 + 1 (9 - 1) + a | \begin{array}{c} 3 & - a \\ 1 & - 2 \end{array} |$

Passaggio 3.2.2

Sottrai

$1$ da

$9$ .

$0 + 1 \cdot 8 + a | \begin{array}{c} 3 & - a \\ 1 & - 2 \end{array} |$

Passaggio 4

Calcola

$| \begin{array}{c} 3 & - a \\ 1 & - 2 \end{array} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

È possibile trovare il determinante di una matrice

$2 \times 2$ usando la formula

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$0 + 1 \cdot 8 + a (3 \cdot - 2 - - a)$

Passaggio 4.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Moltiplica

$3$ per

$- 2$ .

$0 + 1 \cdot 8 + a (- 6 - - a)$

Passaggio 4.2.2

Moltiplica

$- - a$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Moltiplica

$- 1$ per

$- 1$ .

$0 + 1 \cdot 8 + a (- 6 + 1 a)$

Passaggio 4.2.2.2

Moltiplica

$a$ per

$1$ .

$0 + 1 \cdot 8 + a (- 6 + a)$

Passaggio 5

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Somma

$0$ e

$1 \cdot 8$ .

$1 \cdot 8 + a (- 6 + a)$

Passaggio 5.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Moltiplica

$8$ per

$1$ .

$8 + a (- 6 + a)$

Passaggio 5.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$8 + a \cdot - 6 + a \cdot a$

Passaggio 5.2.3

Sposta

$- 6$ alla sinistra di

$a$ .

$8 - 6 \cdot a + a \cdot a$

Passaggio 5.2.4

Moltiplica

$a$ per

$a$ .

$8 - 6 a + a^{2}$